Soustavy lineárních rovnic
V matematice a lineární algebře se jako soustava lineárních rovnic označuje množina lineárních rovnic. Ta může vypadat například takto:
Cílem je při řešení takové či podobné soustavy najít takové hodnoty x1, x2 ... xn, pro které platí všechny rovnice zároveň.
Homogenní a nehomogenní soustavy
Za homogenní soustavu lineárních rovnic označujeme takovou soustavu, jejíž pravé strany jsou rovny 0. Je-li alespoň jedna pravá strana rovnice nenulová, jedná se o soustavu nehomogenní.
Řešitelnost
Při řešení soustavy lineárních rovnic mohou nastat následující případy:
- soustava nemá řešení
- soustava má právě jedno řešení
- soustava má nekonečně mnoho řešení
Homogenní soustava lineárních algebraických rovnic má vždy triviální řešení, tzn. xi = 0 pro všechna i.
Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení pouze v případě, že hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
Ukázka způsobu řešení lineární soustavy
Pomiňme skutečnost, že z výše uvedené teorie vyplývá, že homogenní soustava rovnic má vždy pouze triviální řešení. Níže uvedený postup je však aplikovatelný na libovolnou soustavu.
K cíli ve výše uvedené ukázce pomohlo přepsání si lineárních rovnic do tvaru matice a jejich postupná úrava na horní trojůhelníkový tvar gaussovou eliminací (GEM).
Řešení skrze jednotkovou matici
Další možností jak vypočítat systém lineárních rovnic je opět užitím Gaussovy eliminační metody (GEM), tentokrát ale až na matici jednotkovou, díky níž rovnou získáme hledané hodnoty pro jednotlivé proměnné.
Cramerovo pravidlo
Další významnou užívanou metodou je Cramerovo pravidlo, jež jde na výpočet neznámých hodnot užitím determinantu.
K výpočtu takovéto nebo jiné soustavy užitím Cramerova pravidla je potřeba znát determinant soustavy Ds, který je roven determinantu matice s hodnotami vlevo od operátoru rovná se. Dále, k výpočtu libovolné proměnné potřebujeme zjistit podíl, v jehož jmenovateli bude vždy zmíněný determinant soustavy Ds a v jehož čitateli se objeví determinant též soustavy se zaměněným sloupcem v němž je hledaná proměnná za sloupec vpravo od operátoru rovná se - ten označíme jako Dx, Dy, Dz, ... Dn. Proměnná x je potom rovna podílu Dx / Ds.
